MeshSplatting: Differentiable Rendering with Opaque Meshes

基本信息

项目 内容
论文标题 MeshSplatting: Differentiable Rendering with Opaque Meshes
作者 Jan Held, Sanghyun Son, Renaud Vandeghen, Daniel Rebain, Matheus Gadelha, Yi Zhou, Anthony Cioppa, Ming C. Lin, Marc Van Droogenbroeck, Andrea Tagliasacchi
第一作者单位 University of Liege
时间 2025
发表会议/期刊 arXiv预印本（预计投稿至计算机视觉/图形学顶会）

方法概览

特点 文章性质
输入 多视角图像（通过SfM获取相机位姿与稀疏点云）
输出 带顶点颜色、不透明且顶点共享的三角网格
所属领域 可微分渲染、神经辐射场、三维重建

文章内容总结

1. 新提出的场景表示及其对比

本文提出了一种名为 MeshSplatting 的新型场景表示方法。该方法生成的是一种不透明、顶点共享的三角网格。

  • 对比的其他三维表示：
    • 3D高斯泼溅（3D Gaussian Splatting）：基于点状各向异性高斯体的表示，渲染快但非网格，与游戏引擎不兼容。
    • Triangle Splatting：如Triangle Splatting，每个三角形独立无连接，且最终透明度非不透明，同样难以直接用于游戏引擎。
    • 后处理提取的网格：如2DGS、GOF、RaDe-GS等方法，需要从高斯表示中通过截断符号距离场（TSDF）或泊松重建等复杂后处理提取网格，且常需额外步骤上色。
    • 联合优化的网格：如MiLo，在优化中联合处理网格与高斯表示，但颜色仍需单独学习，且网格非完全连接。
  • 优势：
    1. 端到端优化：直接从图像优化得到不透明、带颜色的三角网格，无需后处理。
    2. 顶点共享：三角形通过顶点连接，形成真正的网格（Mesh），而非汤（Soup）。
    3. 游戏引擎兼容：生成的不透明三角网格可直接导入Unity等标准游戏引擎，用于物理仿真、实时渲染等下游任务。
    4. 高质量与高效率：在MipNeRF360等数据集上，视觉质量（PSNR, SSIM, LPIPS）优于现有方法，且训练速度更快（快2倍）、内存占用更少（少2倍）、模型更紧凑。
  • 缺点/特点：
    • 顶点共享机制：每个顶点存储三维坐标(xi,yi,zi)(x_i,y_i,z_i)、颜色cic_i、不透明度oio_i，三角面由顶点索引定义，反向传播时梯度可在共享顶点上累加。
    • 专注于生成不透明网格，对透明物体（如玻璃）的重建具有挑战性（见文章图13）。
    • 背景区域在视角有限时可能难以准确恢复。
    • 非完全水密：未强制约束水密性，存在局部非流形区域，部分边界顶点连接性不足。

2. 摘要精简讲解

MeshSplatting是一种基于网格的重建方法，通过可微分渲染联合优化场景的几何（三角网格）与外观（顶点颜色）。它通过约束Delaunay三角剖分强制网格连通性，并优化使三角形变得不透明，从而生成平滑、高质量且可直接在实时3D引擎（如游戏引擎）中渲染的网格。在MipNeRF360数据集上，其PSNR比当前最好的基于网格的新视图合成方法MiLo高出0.69 dB，同时训练快2倍，内存少用2倍，有效连接了神经渲染与交互式3D图形。

3. 引言（出发点）

当前，以3D高斯泼溅（3DGS）为代表的基元泼溅方法在新视图合成上取得了革命性进展，但其点式表示与AR/VR和游戏引擎中主流的基于网格的管线不兼容。现有方法通常需要将神经辐射场或高斯表示转换为网格，这一过程复杂、不可微分且会导致视觉质量损失。一些早期的可微分网格优化方法又对初始化和场景规模有严格限制。最近的Triangle Splatting虽然用三角形替换了高斯，但生成的仍是“三角形汤”（无连接），且三角形非不透明，在游戏引擎中渲染质量下降。因此，本文出发点是为了直接优化出一个不透明、连通、带颜色、可直接用于游戏引擎的三角网格。

MeshSplatting的两阶段优化流程。(1a-b) 第一阶段优化独立的半透明三角形汤，快速捕捉场景几何与外观。(2a-b) 第二阶段通过受限Delaunay三角剖分建立连接性，并微调得到最终的高质量不透明网格。

4. 相关工作对比与参考

  • 可微分渲染与显式表示：参考了点云、体素网格、多边形网格、高斯泼溅等领域的工作。本文方法属于可微分渲染优化显式网格表示。
  • 三角形基元回归：参考了Triangle Splatting [16] 的工作，该方法将三角形作为体积渲染基元。MeshSplatting在此基础上，关键改进是引入了顶点共享和不透明性优化。
  • 从图像重建网格：
    • 隐式场转换法：如BakedSDF、Binary Opacity Fields、MobileNeRF，将神经辐射场烘焙成纹理网格，引入了额外开销。
    • 3DGS的网格提取法：2DGS、RaDe-GS 等通过截断符号距离场或泊松重建提取网格，MiLo 将网格提取融入优化，但仍需后处理着色；MeshSplatting 则直接优化带颜色的不透明网格，无需额外步骤。
    • 联合优化法：如MiLo [14]，将表面网格提取集成到优化中，联合优化网格和高斯，但颜色仍需单独学习。
  • 本文定位：与MiLo等联合优化法最相关，但MeshSplatting直接优化带顶点颜色的不透明三角形，一步到位，无需后处理上色或纹理化。

5. 表示的重建、存储、渲染与几何获取

  • 重建过程：

    1. 输入：通过运动恢复结构（SfM）得到的多视角图像、相机参数及稀疏点云。

    2. 初始化：在每个3D点处初始化一个半透明的等边三角形，尺寸与邻域距离成正比，初始不透明度oi=0.28。

    3. 两阶段优化：

      • 阶段1无拘无束的“三角形汤”优化:优化伊始，方法从一个松散的“三角形汤”开始。每个三角形独立定义自己的三个顶点、颜色和不透明度，彼此之间没有连接关系。这种做法借鉴了3DGS的成功经验：在训练早期，减少对表示的约束（如连接性、不透明性）能让优化器更自由、更快速地探索场景空间，高效覆盖复杂几何并拟合外观。此阶段的关键是可微分渲染公式。对于每个三角形，方法将其投影到2D屏幕空间，并定义一个基于符号距离场的窗口函数 ：$$I§$$:

        I(p)=max(0,1−ϕ(p)/σ)I(p)=max(0,1-{\phi(p)}/\sigma)

        其中， $$\phi§$$是像素 到三角形边的符号距离， σ\sigma是控制平滑度的参数。当 σ\sigma较大时，三角形边缘是平滑渐变的（半透明），便于梯度在训练初期流动；随着优化进行， σ\sigma会逐渐减小，使三角形趋向于实心。

      • 阶段2（网格创建与优化）：当“汤”优化得足够好，能够表征场景的大致形状和颜色后，MeshSplatting 便启动“收网”程序。它利用约束Delaunay三角剖分（Restricted Delaunay Triangulation），将第一阶段优化得到的顶点连接起来，形成一个全局连通的三角形网格。这一步骤不引入新顶点，只是重用现有顶点建立拓扑关系，从而最大程度保留了第一阶段学习到的几何与外观信息。

      • 微调阶段：然而，刚“织”好的网是粗糙的，连接性可能带来几何走样和视觉质量下降。因此，一个紧接其后的微调阶段至关重要。此时，顶点的属性（位置、颜色、不透明度）被所有共享该顶点的三角形共同优化。梯度在相邻面之间累积，促使网格表面变得平滑，几何更加精确，并恢复在三角剖分中可能损失的细节。最终，通过一套精心设计的调度策略，所有三角形都趋于完全不透明。

      • 不透明化：通过调度不透明度参数 oo 和平滑度参数 σ\sigma，在训练过程中逐渐使三角形变得不透明。

  • 存储格式：

    • 一个顶点列表 V\mathcal{V}，每个顶点 vi\mathbf{v}_i 存储其3D坐标 (xi,yi,zi)(x_i, y_i, z_i)、颜色 ci\mathbf{c}_i（或用球谐系数表示）和不透明度 oio_i。
    • 一个三角形列表，每个三角形由三个顶点索引定义。
    • 训练后，不透明度参数被丢弃，所有三角形被视为完全不透明。

  • 渲染方式：

    • 使用可微分的光栅化（splatting）。每个三角形在图像空间定义了一个有符号距离场 ϕ(p)\phi(\mathbf{p}) 和窗口函数 I(p)I(\mathbf{p})。
    • 像素 p\mathbf{p} 的最终颜色 C(p)C(\mathbf{p}) 通过按深度顺序累积所有重叠三角形的贡献计算：

    C(\mathbf{p}) = \sum_{n=1}^{N} \mathbf{c}_{T_n} o_{T_n} I(\mathbf{p}) \left( \prod_{i=1}^{n-1} \left(1 - o_{T_i} I(\mathbf{p}) ight) ight)

    • 训练结束后，由于三角形不透明（oightarrow1o ightarrow 1），该方程简化为 C(p)=cTnI(p)C(\mathbf{p}) = \mathbf{c}_{T_n} I(\mathbf{p})，即每个像素只需计算最前面一个三角形的贡献，渲染加速（无过度绘制）。

  • 获取几何信息：

    • 输出的本身就是三角网格，可直接用于生成mesh。
    • 如果需要点云，可以直接从网格顶点获取。

约束 Delaunay 三角剖分（Restricted Delaunay Triangulation，RDT）

在MeshSplatting方法中，约束Delaunay三角剖分（Restricted Delaunay Triangulation，RDT）是将无连通性的“三角形汤”转化为全局连通三角网格的核心操作，其本质是在已优化顶点的基础上，通过保留Delaunay剖分的局部优质特性，构建贴合场景表面的连通网格，且不新增顶点、不破坏已学习的几何与外观信息。 结合论文中的实现流程，其具体操作可分为4个关键步骤，同时需先理解其依赖的标准Delaunay四面体化基础：

  1. 前置：标准Delaunay四面体化 首先对Stage1优化后的三角形汤的所有顶点，执行Delaunay四面体化（3D空间的Delaunay剖分，将顶点集划分为一系列不重叠的四面体），得到一个包含所有顶点的四面体网格。这一步的目的是为后续筛选“有效三角面”提供拓扑基础，且所有四面体的面均满足Delaunay剖分的核心特性——空球特性（即每个四面体的外接球内不包含其他顶点），保证三角面的形状优质（无过扁、过尖的畸形三角面）。
  2. 提取对偶Voronoi边 对四面体化后的每个三角面FF，先找到其相邻的两个四面体T1FT_1^F和T2FT_2^F（边界的三角面仅一个相邻四面体，直接丢弃）；再计算这两个四面体的外接圆圆心（即其对偶Voronoi图的顶点）；最后将两个圆心连接，得到该三角面FF对应的对偶Voronoi边EE。
  3. 交集检测筛选有效三角面 这是“约束”的核心步骤：遍历所有对偶Voronoi边EE，检测其是否与Stage1得到的三角形汤中的三角面发生相交。为了高效完成检测，论文中还做了两个优化
    1. 先为三角形汤构建包围盒层次结构（BVH），通过轴对齐包围盒的快速重叠检测，过滤掉不可能相交的边；
    2. 对可能相交的边，使用Möller–Trumbore算法执行精确的射线-三角面相交测试。 若对偶Voronoi边EE与三角形汤的某三角面相交，则将该对偶边对应的Delaunay三角面FF标记为有效面，纳入最终网格。
  4. 生成连通网格 所有被标记的有效Delaunay三角面，共同构成最终的连通网格。这些三角面复用了Stage1已优化的顶点（坐标、颜色、不透明度均不变），仅通过顶点索引的重新组合实现了连通性。

这种MeshSplatting相对于triangleSplatting表示带来了根本性优势：颜色和不透明度在顶点间插值，使得相邻三角形间的外观过渡自然平滑；在反向传播时，一个顶点接收来自所有关联三角形的梯度，这隐式地施加了平滑约束，驱动网格形成流形表面。

不透明度的渐进式调度

直接优化不透明三角形是困难的，因为不透明会阻碍梯度穿过表面传播到被遮挡的部分。MeshSplatting 采用了一种“由虚入实”的策略。它通过一个可学习的顶点不透明度参数 $$o_i$$开始，并在训练中后期对其进行重新参数化：

oi=sigmod(oi^+Ot)o_i=sigmod(\hat{o_i}+O_t)

其中oi^\hat{o_i}是优化变量，$$O_t$$是一个从0线性增加到1的调度参数。当$$O_t=0$$时，不透明度在0到1之间自由变化；当Ot=1O_t=1时，所有不透明度被映射到1，即完全透明。通过这种方式，优化器被渐进地引导至一个完全不透明的解。

窗口参数（平滑度）的退火

与不透明度调度相辅相成的是窗口平滑度参数 的退火（见图4）。训练初期， 设置较大（如1.0），三角形边缘模糊，像一个柔软的“雾团”，允许梯度广泛传播。随着训练进行， 线性减小至接近0（如0.0001），三角形边缘变得锐利，最终收敛为标准的不透明三角形。这个共享的全局 参数，与 Triangle Splatting 中每个三角形拥有独立 的做法不同，简化了优化并确保了结果的一致性。

6. 训练与损失函数

MeshSplatting需要训练，通过梯度下降优化顶点位置、不透明度和颜色（球谐系数）。

训练损失函数 L\mathcal{L} 是多个损失的加权和：

\mathcal{L} = \mathcal{L}_{ ext{3DGS}} + eta_o \mathcal{L}_o + eta_z \mathcal{L}_z + eta_n \mathcal{L}_n + eta_d \mathcal{L}_d

其中：

  • Lext3DGS\mathcal{L}_{ ext{3DGS}}：来自3DGS的光度损失，包含 L1\mathcal{L}_1 和 LextD−SSIM\mathcal{L}_{ ext{D-SSIM}}。
  • Lo\mathcal{L}_o：不透明度损失，鼓励不透明度趋向0或1。
  • Lz\mathcal{L}_z：深度对齐损失，对齐顶点预测深度与渲染深度图。
  • Ln\mathcal{L}_n：法向损失，使用外部法向估计网络或自监督法向正则化。
  • Ld\mathcal{L}_d：深度损失，使用Depth Anything v2进行尺度-平移对齐后的深度一致性损失。

7. 实验数据集与结果

  • 测试数据集：

    • MipNeRF360：大型无界真实场景。
    • Tanks and Temples (T&T)：大型场景重建基准。
    • DTU：物体级扫描，用于评估表面重建质量。

  • 定量结果：

    • MipNeRF360上：MeshSplatting取得最高PSNR（24.78 dB）、最高SSIM（0.728）、最低LPIPS（0.310），且使用的顶点数（3M）远少于GOF、RaDe-GS等。
    • T&T上：PSNR（20.52 dB）略低于GOF和MiLo，但SSIM（0.745）最高，LPIPS（0.287）最低，表明其感知质量更好，伪影更少。
    • 训练与内存：训练仅需48分钟（比MiLo快2倍以上），内存占用仅100MB（比其他方法小2.5-15倍）。
    • 表面重建：在DTU上，其倒角距离（Chamfer Distance）与专门进行网格提取的方法（如2DGS、GOF）性能相当。

  • 定性结果：MeshSplatting能重建更精细的结构和细节，渲染结果噪声和伪影更少，更接近真实图像。

8. 消融实验

文章进行了详细的消融实验，验证了各个组件的必要性：

消融项目 PSNR变化 LPIPS变化 SSIM变化 验证内容
Baseline 24.78 0.31 0.728 完整模型
w/o 球谐系数（SH） -2.07 +0.06 -0.069 颜色表示能力对高视觉保真度至关重要
w/o 深度损失 Ld\mathcal{L}_d +0.05 -0.04 +0.006 Ld\mathcal{L}_d轻微降低视觉质量，但提升几何精度
w/o 深度对齐损失 Lz\mathcal{L}_z +0.02 -0.01 +0.002 Lz\mathcal{L}_z帮助平滑表面，减少伪影
w/o 法向损失 Ln\mathcal{L}_n +0.10 -0.02 +0.004 Ln\mathcal{L}_n鼓励更平滑的表面
w/o 硬剪枝（5k迭代时） -0.67 +0.02 -0.021 剪除低不透明度三角形对最终质量重要
w/o 第二阶段（网格创建与优化） -8.56 +0.25 -0.260 从三角形汤到连接网格的优化阶段至关重要
w/o 超采样 -0.80 +0.04 -0.040 抗锯齿超采样提升渲染质量
w/o 基于权重ww的剪枝 -0.62 +0.05 -0.045 基于混合权重的剪枝能有效移除被遮挡三角形
w/o σ\sigma衰减（保持平滑） -7.96 +0.27 -0.329 σ\sigma从1.0线性衰减到0.0001对梯度稳定和最终不透明化关键

此外，实验还表明：

  • 线性调度不透明度 oo 和平滑度 σ\sigma 优于余弦调度。
  • 连接状态下的三角形细分（中点细分）比非连接状态更高效，引入的顶点更少。
  • 正则化项（Ld,Lz,Ln\mathcal{L}_d, \mathcal{L}_z, \mathcal{L}_n）虽然略微降低了视觉分数（PSNR/SSIM），但显著改善了几何准确性和表面平滑度。

9. 创新点总结

  1. 端到端不透明网格优化：首次实现了从图像直接端到端优化出不透明、连通、带颜色的三角网格，无需任何后处理步骤（如网格提取、上色、纹理化）。
  2. 两阶段优化策略：先优化自由度高的“三角形汤”快速覆盖场景，再通过约束Delaunay三角剖分建立连接并进行微调，平衡了优化灵活性与网格结构。
  3. 针对不透明性的训练调度：设计了不透明度参数 oo 和窗口平滑度参数 σ\sigma 的调度策略，使训练初期梯度能有效传播，最终收敛到完全不透明的三角形，兼容传统光栅化。
  4. 高效的表示与渲染：顶点共享的表示比独立三角形汤更紧凑；训练完成后，渲染简化为单个三角形覆盖每个像素，实现了零过度绘制，渲染效率高。
  5. 即时的下游应用兼容性：生成的网格可直接导入游戏引擎，支持物理仿真、实时行走、光线追踪、场景编辑和基于2D掩码的轻松3D物体分割与提取（得益于不透明三角形的单一样本覆盖特性）。

# MeshSplatting (Differentiable Rendering with Opaque Meshes) ## 基本信息 | 项目 | 内容 | | :---------------- | :----------------------------------------------------------- | | 论文标题 | MeshSplatting: Differentiable Rendering with Opaque Meshes | | 作者 | Jan Held, Sanghyun Son, Renaud Vandeghen, Daniel Rebain, Matheus Gadelha, Yi Zhou, Anthony Cioppa, Ming C. Lin, Marc Van Droogenbroeck, Andrea Tagliasacchi | | 作者单位 | University of Liège（第一单位）, Simon Fraser University, University of Maryland, University of British Columbia, University of Toronto, Adobe Research | | 时间 | 2025（arXiv预印本版本为2025年12月7日，编号arXiv:2512.06818v1 [cs.CV]） | | 发表会议/期刊 | arXiv预印本（cs.CV方向）| ## 方法概览 | 特点 | 文章性质 | | ------------ | ----------------------------------------- | | 输入 | 带相机参数的多视角姿态图像、SfM生成的稀疏点云 | | 输出 | 带顶点颜色的连通不透明三角网格（Opaque Connected Triangle Mesh） | | 所属领域 | 基于网格的新型视图合成、可微渲染、3D场景重建 | ## 一、方法对应的场景表示相关介绍 ### 1. 表示名称 该方法提出的场景表示为MeshSplatting，是一种基于共享顶点的连通不透明三角网格表示。 ### 2. 对比的三维表示 - 3D高斯溅射（3D Gaussian Splatting, 3DGS）：以离散高斯为基元，需排序和alpha混合，无法直接适配传统图形管线的深度缓冲、遮挡剔除等技术。 - Triangle Splatting：输出无顶点共享的“三角形汤”，且三角形含透明度，在游戏引擎中渲染会损失画质，也无法支持物理仿真。 - 传统网格重建方法（如MiLo、2DGS、GOF、RaDe-GS）：多需后处理步骤提取或着色网格，存在流程繁琐、画质损失、内存占用高的问题。 ### 3. 优势与缺点 #### 优势 1. 管线兼容性：直接输出不透明连通网格，可无缝导入游戏引擎，原生支持物理交互、光线追踪、可漫游场景等下游应用。 2. 效率优势：训练速度比SOTA方法快2倍，内存占用降低2倍，在MacBook M4上可实现HD分辨率~200FPS的渲染。 3. 画质与精度：在MipNeRF360数据集上，相比MiLo提升PSNR 0.69dB，且LPIPS（感知相似度指标）显著低于同类方法，几何细节还原更精准。 4. 轻量化：最终网格仅占用100MB内存，是GOF、RaDe-GS等方法的1/15~1/10，可在消费级硬件高效运行。 #### 缺点 1. 背景与视角局限：稀疏点云覆盖的背景区域几何完整性不足，超出训练视角范围后画质会明显下降。 2. 透明物体适配差：仅支持不透明三角面元，无法精准重建玻璃、水瓶等透明/半透明物体。 3. 非完全水密：未强制约束水密性，存在局部非流形区域，部分边界顶点连接性不足。 ## 二、摘要精简讲解 3D高斯溅射等基元溅射方法革新了实时新型视图合成，但点基表示无法适配AR/VR、游戏引擎的网格管线。为此，MeshSplatting提出一种端到端可微渲染的网格重建方案：通过受限Delaunay三角剖分保障网格连通性，优化表面一致性生成不透明三角网格。该方法在MipNeRF360数据集上，相比SOTA的MiLo提升PSNR 0.69dB，同时实现2倍训练加速和2倍内存节省，成功打通神经渲染与传统交互式3D图形管线的壁垒，支持物理交互、光线追踪等下游应用。 ## 三、引言核心出发点 1. 现有技术痛点：3DGS虽画质高、渲染快，但高斯基元依赖排序和alpha混合，无法兼容传统图形管线的深度缓冲、遮挡剔除；而将高斯场转化为网格的方法，存在后处理复杂、画质损失、非可微的问题。 2. 早期网格优化局限：传统可微网格渲染方法需精细初始化，且仅适配小尺度物体，无法处理大场景；Triangle Splatting输出无连通性的“三角形汤”且含透明度，游戏引擎渲染画质衰减。 3. 方法提出目标：构建端到端优化的不透明连通网格表示，既保留神经渲染的高画质，又能直接对接传统3D管线，同时提升训练效率、降低内存消耗。 ## 四、相关工作对比与参考 ### 1. 可微渲染相关工作 - 3D基元演进：从点云、体素、高斯基元，到近年的三角形、凸面体等基元，MeshSplatting参考Triangle Splatting的三角形基元思路，解决了其无连通性、非不透明的缺陷。 - 可微网格渲染：早期Kato等人、Liu等人的方法仅适配小物体；Son等人的DMesh系列提出共享顶点的可微网格，MeshSplatting借鉴其顶点参数化方式并拓展至大场景。 ### 2. 图像驱动的网格重建 - 隐式转显式方法：BakedSDF、Binary Opacity Fields等通过神经符号距离场或不透明度场提取网格，但存在训练耗时、流程繁琐的问题。 - 基于3DGS的网格提取：2DGS、RaDe-GS等通过截断符号距离场或泊松重建提取网格，MiLo将网格提取融入优化，但仍需后处理着色；MeshSplatting则直接优化带颜色的不透明网格，无需额外步骤。 ## 五、场景重建流程、存储格式与几何信息转化 ### 1. 场景重建流程 MeshSplatting的重建分为两个核心阶段： 1. 阶段1：三角形汤优化 - 初始化：基于SfM稀疏点云，为每个3D点初始化等边三角形，尺寸与邻域距离成正比，初始不透明度oi=0.28o_i=0.28。 - 无约束优化：以独立三角形为单位优化，快速适配场景几何与外观，同时执行增删策略（基于伯努利采样的中点细分增删、低不透明度三角形裁剪）。 2. 阶段2：网格创建与精修 - 连通化：对三角形汤执行受限Delaunay三角剖分，复用已优化顶点生成连通网格，不引入新顶点。 - 精调优化：基于共享顶点的梯度累加，精修顶点位置、颜色与不透明度，最终得到不透明连通网格。 ### 2. 存储格式 MeshSplatting输出的网格为标准三角网格格式，每个顶点存储三维坐标、球面谐波颜色系数（3阶SH对应48个参数）、不透明度；三角面存储顶点索引，整体可直接导出为游戏引擎兼容的网格文件（如OBJ、FBX），无需格式转换。 ### 3. 渲染与几何信息转化 - 场景渲染 1. 训练阶段：按深度顺序累加三角面贡献，像素最终颜色公式为： $$C§=\sum_{n=1}^{N} c_{T_{n}} o_{T_{n}} I§\left(\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-o_{T_{i}} I§
ight)
ight)$$ 2. 推理阶段：因三角面已完全不透明，公式简化为C(p)=cTnI(p)C(p)=c_{T_{n}} I(p)，仅需单次像素采样，大幅提升渲染速度。 其中I(p)I(p)为窗口函数，定义为： $$I§=\left(ReLU\left( rac{\phi§}{\phi(s)}
ight)
ight)^{\sigma}$$ ϕ(p)\phi(p)为2D三角形的符号距离场，公式为： $$\phi §=\operatorname* {max}{i\in { 1,2,3} }L{i}§, L_{i}§=n_{i}